среда, 6 февраля 2013 г.

разложение определителя третьего порядка по 2-ой строке

3,5 Mb.страница3/19Дата конвертации12.10.2011Размер3,5 Mb.Тип Смотрите также:     3                 5.2. Вычисление определителей. Как следует из утверждения 6, при элементарных преобразованиях II-го типа над строками матрицы определитель меняет знак. Утверждение 7. При элементарных преобразованиях I-го типа над строками матрицы определитель не меняется. Доказательство. det(А1 , , Аi+cАj , , Аj , , Аn) = = det(А1 , ,Аi , , Аj , , Аn) + det(А1 , ,cАj , , Аj , , Аn)= = detА + сdet(А1 , ,Аj , , Аj , , Аn) = detА + с 0 = detА . Как доказано в Теореме в п.4.2 матрицу А с помощью элементарных преобразований над строками можно привести к ступенчатому виду . Пусть при этом t - количество ЭП-II. Если rgA n, то в матрице существует нулевая строка. В частности п-я строка = (0, 0, ,0) = 0 и |A| = (-1)t|| = =(-1)tdet(, ,)=(-1)tdet(, ,0 )=(-1)t0 det(, ,)= = 0. Если rgA = n, то матрица имеет треугольный вид = , и || = = , а |A| = (-1)t|| =(-1)t .Лекция 8.^ 5.3. Обратная теорема об определителях. Мы доказали, что определитель матрицы является полилинейной кососимметричной функцией строк этой матрицы. Теперь нас интересует вопрос, насколько много таких функций. Оказывается, что с точностью до пропорциональности других таких функций нет. Другими словами, имеет место ^ Обратная теорема. Пусть F(A) полилинейная кососим]метричная функция строк (п п)-матрицы А. Тогда F(A)= с|A|, где с Р, с = F(E), а Е единичная матрица, Е = . Доказательство. Рассмотрим функцию матрицы F(A) как функцию F(А1, ,Аn) строк А1, ,Аn матрицы A. Полилинейность функции F по строкам означает линейность по любой i-й строке. То есть для любого i должны выполняться два свойства: F(А1 , , Аi+А i , , Аn) = F(А1 , , Аi , ,Аn)+ F(А1 , ,А i , , Аn), F(А1 , , cАi , , Аn) =cF(А1 , , Аi , ,Аn). Кососимметричность функции F по строкам означает, что если при i j Аi = Аj , то F(А1 , ,Аi , , Аj , , Аn) = 0. Из свойства кососимметричности, как и в утверждении 6 для определителей следует, что F(А1 , , Аi , ,Аj , , Аn) = - F(А1 , , Аj , , Аi , , Аn), то есть при ЭП-II над строками функция F, как и det, меняет знак. А при ЭП-I функция F, как и det, не меняется доказательство этого аналогично доказательству утверждения 7. 2. Приведем матрицу А с помощью элементарных преобразований над строками к ступенчатому виду . Пусть при этом t - количество ЭП-II. Если rgA n, то в матрице п-я строка = (0, 0, ,0) и |A| = (-1)t|| = 0. Аналогично F(A) = (-1)tF() = (-1)tF(, ,) = (-1)tF(, ,0 ) = = (-1)t0 F(, ,)= 0. И значит, F(A) = c|A|.

Попов А. М. Лекции по линейной алгебре 2 чел. помогло.

5.2. Вычисление определителей - Попов А. М. Лекции по линейной алгебре

Комментариев нет:

Отправить комментарий